Резонанс Гельмгольца

(перенаправлено с «Акустический резонатор»)
Медный сферический Резонатор Гельмгольца, созданный на основе изначального дизайна около 1890—1900 годов

Резонанс Гельмгольца — явление резонанса воздуха в полости, примером которого является гудение пустой бутылки от потока воздуха направленного перпендикулярно её горлышку. Резонатор Гельмгольца — медный сосуд сферической формы с открытой горловиной, изобретённый Гельмгольцем около 1850 года для анализа акустических сигналов, на основе наблюдаемых в нём явлений Гельмгольцем и Рэлеем разработана количественная теория резонанса данного типа[1].

Качественное объяснение

Когда воздух нагнетается в полость, давление в полости возрастает. Когда внешняя сила, нагнетающая воздух в полость, исчезает, повышенное давление заставляет воздух вытекать обратно. Через некоторое время давление внутри и снаружи сравняется, но воздух всё равно продолжит выходить вовне, поскольку струя воздуха в горлышке обладает массой и ненулевой скоростью, а значит, и кинетической энергией. Через некоторое время воздух перестанет выходить из полости, и при этом давление внутри полости будет меньше давления снаружи. Воздух снова устремится в полость. Этот цикл будет повторяться множество раз, с затухающей амплитудой. Частота цикла (собственная, или резонансная частота) зависит от формы полости. Если внешняя сила будет возникать и исчезать с частотой, равной собственной частоте полости, возникнет резонанс — колебания воздуха не будут затухать.

Количественное объяснение

 
Модель резонатора Гельмгольца

Может быть показано[2] что собственная угловая частота колебаний равна

 

где   — показатель адиабаты, значение которого обычно равно 1,4 для воздуха и двуатомных газов;   — площадь сечения горлышка;   — масса воздуха в горлышке;   — статическое давление в полости;   — статический объём полости.

Для цилиндрических горлышек

 

где:   — длина горлышка,   — объём воздуха в горлышке, поэтому

 

По определению плотности:

 

поэтому

 

и

 

где   — резонансная частота.

Скорость звука в газах равна

 

поэтому можно выразить резонансную частоту через неё:

 

Длина горлышка появляется в знаменателе потому, что инерция воздуха в горлышке пропорциональна массе воздуха в горлышке, а значит, и длине. Объём появляется в знаменателе потому, что коэффициент сжимаемости воздуха в полости обратно пропорционален объёму. Площадь сечения горлышка влияет двояко — чем больше площадь, тем больше масса воздуха в горлышке, и тем меньше скорость, с которой воздух устремляется внутрь и вовне.

Эта формула имеет границы применимости, зависящие от формы горлышка и толщины стенок резонатора. Исходя из примерно такой же физической модели можно получить более точную формулу[3]. Кроме этого, если скорость потока рядом с резонатором высока (более 0,3 числа Маха), необходимо вводить дополнительные поправки.

Применение

Резонанс Гельмгольца применяется в двигателях внутреннего сгорания и в акустических системах. Системы впрыска топлива, называемые системами Гельмгольца, использовались в двигателях Chrysler V10, которыми комплектовались автомобили Dodge Viper и пикапы Ram, а также в мотоциклах Buell. В струнных инструментах с полой декой, таких, как гитара или скрипка, один из пиков кривой резонанса — это резонанс Гельмгольца (остальные — это резонансные частоты деревянных частей инструмента). Окарина — резонатор с изменяемым сечением горлышка. Западноафриканский барабан джембе имеет относительно узкое горлышко, что придаёт ему глубокий басовый тон.

Теория резонанса Гельмгольца используется при проектировании выхлопных труб автомобилей и мотоциклов, с целью сделать звук двигателя более тихим или более красивым.

Примечания

  1. Helmholtz, Hermann von (1885), On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music, Second English Edition, translated by Alexander J. Ellis. London: Longmans, Green, and Co., p. 44. Retrieved 2010-10-12.
  2. Derivation of the equation for the resonant frequency of an Helmholtz resonator.
  3. Formulas of Acoustics.

Литература

  • Hermann von Helmholtz. On the sensations of tone as a physiological basis for the theory of music / Alexander John Ellis. — Longmans, Green, 1885. — 576 с.
  • Колебания и волны. Лекции. В. А. Алешкевич, Л. Г. Деденко, В. А. Караваев (Физический факультет МГУ) Издательство Физического факультета МГУ, 2001 г.

Ссылки