Гипервещественное число

(перенаправлено с «Гиперреальное число»)

Гипервещественные числа или гипердействительные числа — расширение поля вещественных чисел , которое содержит числа, большие, чем все представимые в виде конечной суммы

Термин англ. hyper-real number был введён американским математиком Эдвином Хьюиттом[en] в 1948 году[1].

Формальное определение

Система гипервещественных представляет собой строгий метод исчисления бесконечных и бесконечно малых величин. Множество гипервещественных чисел   представляет собой упорядоченное поле, расширение поля вещественных чисел  , которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы   Каждое такое число бесконечно велико, а обратное ему бесконечно мало.

Гипервещественные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического закона непрерывности[en] Лейбница. Принцип переноса утверждает, что утверждения в логике первого порядка об   справедливы и для  . Например, правило коммутативности сложения х + у = у + х, справедливо для гипервещественных чисел так же, как и для вещественных. Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося (1955).

Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику Евдоксу Книдскому, который использовал для их исчисления другие методы, в частности, метод исчерпывания. В 1960 году А. Робинсон доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества, содержащего бесконечно малые и бесконечно большие величины в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века.

Применение гипервещественных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах математического анализа называется нестандартным анализом. Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производной и интеграла напрямую, без использования перехода к пределу или сложных логических конструкций. Так, производная   становится   для бесконечно малого  , где   означает стандартную часть числа, которая связывает каждое конечное гипервещественное число с единственным вещественным, бесконечно близким к нему.

Поле гипервещественных чисел

Положим, что   является тихоновским пространством, которое также называется   пространством, а   — алгебра непрерывных вещественных функций на  . Пусть   есть максимальный идеал в  . Тогда факторкольцо  , является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрена как линейно упорядоченное множество. Если   строго содержит  , то   называется гипервещественным идеалом (по терминологии Хьюитта,1948), а   — гипервещественным полем. Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля   больше, чем у поля  , они могут на самом деле иметь одинаковую мощность.

Важный частный случай — если пространство   является дискретным пространством, в этом случае   можно отождествить с мощностью множества κ и   с вещественной алгеброй   функций κ от  . Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае, называются ультрастепенями[en]   и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные ультрафильтры в общей топологии.

Примечания

  1. Hewitt (1948), p. 74, as reported in Keisler (1994).

Литература

Успенский В. А. (1987). Что такое нестандартный анализ? М.: Наукa, Главная редакция физико-математической литературы.