Перестройка Морса

Хирургия или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии.

Важная роль хирургии в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют «деликатно» (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать «лишние» гомотопические группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция «приклеивания клетки» мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения замкнутого многообразия в клеточное пространство существуют такой бордизм и такое отображение , что , а является гомотопической эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью хирургий уничтожить ядра гомоморфизмов (где гомотопические группы). Если это удаётся, то результирующее отображение будет гомотопической эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н. группах Уолла) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической L-теории[en].

Конструкция

Пусть   — гладкое  -мерное многообразие (без края), в которое (гладко) вложена  -мерная сфера  . Предположим, что нормальное расслоение сферы   в многообразии   тривиально, то есть что замкнутая трубчатая окрестность   сферы   в   разлагается в прямое произведение  , где   — диск размерности  . Выбрав такое разложение, вырежем из   внутренность окрестности  . Получится многообразие, край которого разложен в произведение   сфер. Точно такой же край имеет многообразие  . Отождествив края этих многообразий по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения снова получим многообразие   без края, которое и называется результатом хирургии многообразия   вдоль сферы  .

Для осуществления хирургии необходимо задать разложение окрестности   сферы   в прямое произведение, то есть тривиализацию нормального расслоения сферы   в многообразии  , при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия  .

Число   называется индексом хирургии, а пара   её типом. Если   получается из   хирургией типа  , то   получается из   хирургией типа  . При   многообразие   является дизъюнктным объединением многообразия   (которое может быть в этом случае пустым) и сферы  .

Примеры

  • При   и   в результате хирургии получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при   — тор.
  • При   и   получается произведение  .
  • Случай   и   сложнее: если сфера   вложена в   стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора её тривиализации нормального расслоения получаются линзовые пространства; если же допустить заузливание сферы  , то получается ещё больший набор трёхмерных многообразий.

Свойства

  • Если   является краем  -мерного многообразия  , то   будет краем многообразия  , полученного из   приклеиванием ручки индекса  .
    • В частности, если   — гладкая функция на многообразии   и   — такие числа, что множество   компактно и содержит единственную критическую точку  , которая невырождена, то многообразие   получается из многообразия   хирургией индекса  , где   — индекс Морса критической точки  .
    • Более общим образом, любая перестройка   многообразия   индекса   определяет некоторый бордизм  , и на триаде   существует
  • функция Морса, обладающая единственной критической точкой индекса  , причем любой бордизм  , на котором существует такого рода функция Морса, получается этим способом.
    • Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью хирургий.
  • При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат хирургии ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием.

Вариации и обобщения

  • Конструкция хирургии может быть проведена также для кусочно-линейных и топологических многообразий.