Телесный угол

Телесный угол

Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Обозначается телесный угол обычно буквой Ω.

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:

Стерадиан

Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса r поверхность с площадью r2. Полная сфера образует телесный угол, равный 4π стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.

Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.

Двойственный телесный угол к данному телесному углу Ω определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Ω неострый угол.

Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.

Стерадиан Кв. градус Кв. минута Кв. секунда Полный угол
1 стерадиан = 1 (180/π)² ≈
≈ 3282,806 кв. градусов
(180×60/π)² ≈
≈ 1,1818103⋅107 кв. минут
(180×60×60/π)² ≈
≈ 4,254517⋅1010 кв. секунд
1/4π ≈
≈ 0,07957747 полного угла
1 кв. градус = (π/180)² ≈
≈ 3,0461742⋅10−4 стерадиан
1 60² =
= 3600 кв. минут
(60×60)² =
= 12 960 000 кв. секунд
π/(2×180)² ≈
≈ 2,424068⋅10−5 полного угла
1 кв. минута = (π/(180×60))² ≈
≈ 8,461595⋅10−8 стерадиан
1/60² ≈
≈ 2,7777778⋅10−4 кв. градусов
1 60² =
= 3600 кв. секунд
π/(2×180×60)² ≈
≈ 6,73352335⋅10−9 полного угла
1 кв. секунда = (π/(180×60×60))² ≈
≈ 2,35044305⋅10−11 стерадиан
1/(60×60)² ≈
≈ 7,71604938⋅10−8 кв. градусов
1/60² ≈
≈ 2,7777778⋅10−4 кв. минут
1 π/(2×180×60×60)² ≈
≈ 1,87042315⋅10−12 полного угла
Полный угол = 4π ≈
≈ 12,5663706 стерадиан
(2×180)²/π ≈
≈ 41252,96125 кв. градусов
(2×180×60)²/π ≈
≈ 1,48511066⋅108 кв. минут
(2×180×60×60)²/π ≈
≈ 5,34638378⋅1011 кв. секунд
1

Вычисление телесных углов

Для произвольной стягивающей поверхности S телесный угол Ω, под которым она видна из начала координат, равен

 

где   — сферические координаты элемента поверхности     — его радиус-вектор,   — единичный вектор, нормальный к  

Свойства телесных углов

  1. Полный телесный угол (полная сфера) равен 4π стерадиан.
  2. Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.

Величины некоторых телесных углов

  • Треугольник с координатами вершин  ,  ,   виден из начала координат под телесным углом
 
где   — смешанное произведение данных векторов,   — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).
  • Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен   Если известны радиус основания   и высота   конуса, то   Когда угол раствора конуса мал,   (угол   выражен в радианах), или   (угол   выражен в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6⋅10−5 стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).
  • Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.
  где   — полупериметр.
Через двугранные углы   телесный угол выражается как:
 
  • Телесный угол, под которым видна грань правильного N-гранника из его центра, равна   полного телесного угла, или   стерадиан.
  •  
    Телесный угол при вершине наклонного кругового конуса
    Телесный угол, под которым виден круг радиусом R из произвольной точки пространства (то есть телесный угол при вершине произвольного кругового конуса, не обязательно прямого) вычисляется с использованием полных эллиптических интегралов 1-го и 3-го рода[1]:
  при  
  при  
где   и   — полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра 1-го и 3-го рода, соответственно;
  — расстояние от центра основания конуса до проекции вершины конуса на плоскость основания;
  — высота конуса;
  — длина максимальной образующей конуса;
 
 

Литература

См. также

Примечания

  1. Paxton F. Solid Angle Calculation for a Circular Disk (англ.) // Review of Scientific Instruments. — 1959. — April (vol. 30, no. 4). — P. 254—258. — DOI:10.1063/1.1716590. — Bibcode1959RScI...30..254P.